Schnell, was ist 1/4 + 3/4? Wenn Sie sich an Ihre Mathematik aus der Schule erinnern, wissen Sie wahrscheinlich, dass die Antwort 1 ist. Wie wäre es mit 1/5 + 3/4? Diesmal nicht so einfach, oder? Das Addieren von 1/4 zu 3/4 ist ziemlich einfach, da die Nenner beider Brüche gleich sind. Aber 1/5 zu 3/4 zu addieren ist nicht so einfach, und das liegt daran, dass die Nenner unterschiedlich sind. Wie also lösen wir solche Probleme? Wir beginnen damit, einen sogenannten gemeinsamen Nenner zu finden. Genau das werden wir heute lernen.
Zähler und Nenner
Bevor wir lernen, Brüche zu addieren und zu subtrahieren, müssen wir lernen, wie man einen gemeinsamen Nenner findet. Und bevor wir das tun, müssen wir uns vergewissern, dass wir mit einigen wichtigen Grundlagen der Fraktionen auf dem Laufenden sind. Als wir zum ersten Mal über Zähler und Nenner sprachen, haben wir insbesondere gelernt, dass der Nenner eines Bruchs angibt, wie viele gleiche Teile ein Ganzes sind – und das kann ein ganzer Kuchen, ein ganzes Jahr, ein ganzes iPhone oder ein ganzes anderes sein – zerlegt wird, und der Zähler eines Bruchs sagt Ihnen, wie viele dieser gleichen Teile der Bruch enthält.
Die 4 in einem Bruch wie 3/4 bedeutet also, dass wir eine ganze Anzahl von Dingen in 4 gleiche Teile zerlegen. Und die 3 in 3/4 sagt uns daher, dass dieser Bruchteil die Menge darstellt, die wir erhalten, wenn wir 3 dieser 4 gleichen Teile von etwas nehmen. Okay, einfach genug. Schauen wir uns nun an, was das alles bedeutet, wenn man einfache Brüche addiert und subtrahiert.
Brüche addieren und subtrahieren
Was passiert zunächst, wenn wir dieses 3/4 von etwas von vorher nehmen und es zu 1/4 von diesem etwas hinzufügen wollen? Nun, der gesunde Menschenverstand – und, wie wir dankenswerterweise sehen werden, die Mathematik – sagt uns, dass wir am Ende ein ganzes Etwas haben. Wie wäre es, wenn wir mit 1 ganzen Etwas beginnen und 1/4 davon abziehen? Am Ende haben wir natürlich 3/4 von dem, womit wir angefangen haben.
Diese grundlegenden Fakten sind für uns im Wesentlichen zum gesunden Menschenverstand geworden, nachdem wir Stunden und Stunden damit verbracht haben, uns mit Dingen wie Pizzen, Kuchen und allem anderen auf der Welt, das in Brüche zerlegt werden kann, auseinanderzusetzen und darüber nachzudenken. Wie die meisten von uns vor langer Zeit gelernt haben, bleibt uns, wenn wir mit einem ganzen Kuchen beginnen und 1/4 davon (vermutlich mit unserem Mund) entfernen, 3/4 eines Kuchens übrig. Wenn wir stattdessen mit 3/4 eines Kuchens beginnen und dann irgendwie (ich bin mir nicht sicher, ob ich wissen will, wie) 1/4 eines Kuchens wieder hinzufügen, erhalten wir nicht überraschend unseren ganzen Kuchen zurück.
Was sind gemeinsame Nenner?
Was solche Probleme ziemlich intuitiv und sogar leicht nachzuvollziehen macht, ist die Tatsache, dass alle Brüche in Form eines sogenannten gemeinsamen Nenners geschrieben werden. Mit anderen Worten, sie sind in Bezug auf die gleiche Art von „Etwas“ geschrieben – seien es gleiche Portionen Äpfel, Kuchen oder was auch immer. In Situationen wie dieser müssen Sie zum Addieren oder Subtrahieren von Brüchen nur ihre Zähler addieren oder subtrahieren (da dies uns die Gesamtzahl der Dinge angibt, die Sie haben) und dies dann über den ursprünglichen Nenner schreiben (um die Antwort wieder in Terme zu bringen dieser Dinge).
Da zum Beispiel beide Brüche in 3/4 + 1/4 den Nenner 4 teilen, finden wir die Antwort, indem wir die Zähler 3 + 1 =4 addieren und dies dann über den ursprünglichen Nenner 4 schreiben, um zu finden, dass 3/ 4 + 1/4 =4/4. Wie wir beim Vereinfachen von Brüchen gelernt haben, ist dieser Bruch, 4/4, gleich 1. Für das Problem 2/3 – 1/3 können wir die Zähler subtrahieren, da beide Brüche auf denselben gemeinsamen Nenner geschrieben werden um 2 – 1 =1 zu erhalten, und finden Sie daher, dass 2/3 – 1/3 =1/3.
Das Wichtigste hier (weshalb ich es immer wiederhole!) ist, dass es einfach ist, Brüche zu addieren, wenn sie auf denselben gemeinsamen Nenner geschrieben werden. Was natürlich zu der Frage führt:Wie schreibt man Brüche auf einen gemeinsamen Nenner um?
Wie man gemeinsame Nenner findet
Der einfachste Weg, einen gemeinsamen Nenner für zwei Brüche zu finden, besteht darin, Zähler und Nenner jedes Bruchs mit dem Nenner des anderen zu multiplizieren. Wenn Sie also versuchen, 1/3 und 1/6 auf denselben gemeinsamen Nenner umzuschreiben, müssen Sie nur die Ober- und Unterseite von 1/3 mit 6 (dem Nenner von 1/6) multiplizieren ) und das obere und untere Ende von 1/6 mal 3 (was der Nenner von 1/3 ist), um herauszufinden, dass 1/3 =(1 x 6) / (3 x 6) =6/18 und 1/6 =( 1 x 3) / (6 x 3) =3/18.
Warum funktioniert das? Denn wie wir aus unserer Erfahrung mit dem Kürzen von Brüchen wissen, sind 1/3 und 6/18 äquivalent, ebenso wie 1/6 und 3/18. Der Trick, den wir gelernt haben, ist also nichts weiter als eine Methode, um schnell äquivalente Formen von Brüchen zu finden, die mit demselben gemeinsamen Nenner geschrieben sind. Beachten Sie wie üblich, dass wir diese Brüche, sobald wir sie auf einen gemeinsamen Nenner umgeschrieben haben, problemlos addieren oder subtrahieren können. Also 1/3 + 1/6 =6/18 + 3/18 =9/18 (was zu 1/2 vereinfacht werden kann), 1/3 – 1/6 =6/18 – 3/18 =3/18 (was zu 1/6 vereinfacht werden kann) und so weiter.
Obwohl diese Methode, einen gemeinsamen Nenner zu finden, immer funktioniert, ist sie nicht unbedingt die beste Methode, die man bei jedem Problem anwenden kann. Wieso den? Nun, die kurze Antwort ist, dass Sie dadurch oft viel zu vereinfachen haben. Und wie wir beim nächsten Mal feststellen werden, lässt sich ein Großteil dieser Vereinfachung vollständig vermeiden, indem Sie bei der Wahl Ihres gemeinsamen Nenners etwas cleverer vorgehen.
Abschluss
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Bis zum nächsten Mal ist dies Jason Marshall mit The Math Dude’s Quick and Dirty Tips to Make Math Easier. Danke fürs Lesen, Mathe-Fans!